一、數(shù)列極限的證明

數(shù)列極限的證明是考研數(shù)學(xué)二的重點(diǎn)，常出現(xiàn)在大題中。一般會(huì)給出一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式或遞推關(guān)系，要求證明該數(shù)列的極限存在并求出極限值。常用的方法是單調(diào)有界準(zhǔn)則，即先證明數(shù)列單調(diào)遞增且有上界，或單調(diào)遞減且有下界，從而得出數(shù)列極限存在，再通過(guò)設(shè)極限值為，對(duì)數(shù)列的遞推式兩邊取極限來(lái)求解的值。例如，已知數(shù)列滿足，，可先證明該數(shù)列單調(diào)遞增且有上界，進(jìn)而得出極限存在，再求解出極限值為。

二、微分中值定理的相關(guān)證明

這是考研的重難點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，涉及知識(shí)面廣。主要包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等。通常會(huì)給出一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上的條件，要求證明存在一點(diǎn)滿足某個(gè)中值等式。解題時(shí)，需要根據(jù)題目條件構(gòu)造合適的輔助函數(shù)，再運(yùn)用相應(yīng)的中值定理進(jìn)行證明。例如，設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明存在，使得，可構(gòu)造輔助函數(shù)，然后利用羅爾定理進(jìn)行證明。

三、方程根的問(wèn)題

主要包括方程根唯一和方程根的個(gè)數(shù)的討論。一般會(huì)根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、極值等，來(lái)判斷方程根的情況。例如，證明方程有且只有一個(gè)實(shí)根?？上攘?span data-type="inline-math" data-value="Zih4KT14XjMgKyB4IC0gMQ==">，求導(dǎo)判斷其單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)的取值范圍來(lái)確定根的個(gè)數(shù)。

四、不等式的證明

不等式的證明方法多樣，常用的有利用函數(shù)的單調(diào)性、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等。例如，證明當(dāng)時(shí)，，可構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)判斷其單調(diào)性來(lái)證明不等式。

五、定積分等式和不等式的證明

主要涉及的方法有微分學(xué)的常數(shù)變異法和積分學(xué)的換元法、分布積分法等。例如，證明，可通過(guò)對(duì)等式左邊進(jìn)行分部積分，再結(jié)合已知條件進(jìn)行變形和推導(dǎo)。

六、線性代數(shù)中的證明題

主要涉及證明矩陣的性質(zhì)，如可逆性、特征值等，以及線性方程組的解的性質(zhì)。例如，證明矩陣可逆的充要條件是，可根據(jù)可逆矩陣的定義和行列式的性質(zhì)進(jìn)行證明；證明線性方程組有非零解的充要條件是，可利用矩陣的秩與線性方程組解的關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)。